เครื่องหมายอินทิกรัล... ทำไมต้องถั่วงอก?

* ภาพประกอบจากอินเทอร์เน็ต

การอินทิเกรตหรือการหาปริพันธ์ คงเป็นกระบวนการที่ทางคณิตศาสตร์ที่คุ้นเคยกันดีโดยเฉพาะกับนักเรียนสายวิทย์คณิตที่ได้เรียนวิชาแคลคูลัสมาแล้ว สัญลักษณ์ที่ใช้ในการอินทิเกรตก็เป็นที่คุ้นตากันดีในสายงานวิทยาศาสตร์ บางทีเราก็เรียกมันว่า "ถั่วงอก" บ้างล่ะ ก็มันคล้ายจริงๆ นี่นะ เอ แล้วสงสัยกันบ้างไหมว่าทำไมต้องเป็นตัวแบบนี้

สัญลักษณ์ต่างๆ ในทางคณิตศาสตร์มักมีที่มาจากตัวอักษรกรีก เช่น สัญลักษณ์ "ผลรวม" หรือที่เราชอบเรียกกันว่า "ซิกมา" เพราะใช้สัญลักษณ์เป็นตัวอักษรกรีกก็คือตัวซิกมานั่นเอง แล้วเจ้าเครื่องหมายอินทิกรัลนี่มันตัวอะไรกัน

ก่อนอื่น เรามาทำความเข้าใจความแตกต่างของคำว่า "อินทิเกรต" กับคำว่า "อินทิกรัล" กันก่อน การอินทิเกรตคือชื่อของกระบวนการครับ ตามภาพข้างบนนั่นคือการอินทิเกรต ส่วนคำว่าอินทิกรัล หมายถึงสัญลักษณ์โค้งๆ ที่เราเรียกว่าถั่วงอกนั่นแหละครับ ตัวเดี่ยวๆ ซึ่งหากไล่เรียงดูตัวอักษรกรีกทั้งหมดก็คงไม่เจอมันหรอกครับ เพราะไม่ใช่ตัวอักษรกรีกแต่อย่างใด

* ภาพประกอบจากวิกิพีเดีย

แต่ใช่ว่าเจ้าตัวนี้จะเป็นสัญลักษณ์ที่เขียนขึ้นมาลอยๆ ไม่มีที่มาที่ไปนะ ผู้เริ่มใช้สัญลักษณ์อินทิกรัลคือ Gottfried Wilhelm Leibniz ผู้คิดค้นวิชาแคลคูลัส เนื่องจากการอินทิเกรตหมายถึง "การรวม" ของอะไรสักอย่าง เช่น พื้นที่ หรือปริมาตร เป็นต้น ซึ่งภาษาอังกฤษคือคำว่า summation และเป็นเหตุผลให้ไลบ์นิซเลือกใช้ตัว "S" เป็นเครื่องหมายอินทิกรัล ใช่แล้วครับ มันคือตัว "S" จริงๆ ไม่ใช่ S ที่เขียนให้ดูอาร์ตนะครับ แต่เราเรียกมันว่าตัว S ยาว หรือภาษาอังกฤษเรียกว่า "medial S"

* ภาพประกอบจากวิกิพีเดีย

ตัว S ยาว เป็นตัวอักษรภาษาอังกฤษที่ถูกใช้เมื่อในอดีต คือจะเขียนตัว S เป็นแบบนี้เมื่อมันอยู่หน้าสุดของคำหรืออยู่ระหว่างกลางของคำ ดังเช่นในรูปทางขวามือเป็นคำว่า "Congress" ที่เขียนอยู่ในบัญญัติว่าด้วยสิทธิพื้นฐานของพลเมืองของสหรัฐอเมริกา (United States Bill of Rights) ฉบับปี ค.ศ.1789 ซึ่งเป็นช่วงเดียวกับที่ไลบ์นิซเริ่มใช้สัญลักษณ์อินทิกรัลเป็นตัว S ยาว พอดี

* ภาพประกอบจากอินเทอร์เน็ต

หลายๆ คนคงจะคุ้นเคยกับรูบนไวโอลิน มันช่างมีหน้าตาละม้ายคล้ายกับเจ้าเครื่องหมายอินทิกรัลเชียว เอ แล้วไวโอลินมันเกี่ยวข้องกับแคลคูลัสอย่างนั้นเหรอ... เปล่าเลยครับ เพราะรูบนไวโอลินนี่ไม่ใช่ตัว S แต่เป็นตัว f ครับ และก็ไม่ใช่ตัว "f ยาว" แต่อย่างใด ในทางดนตรีเขาเรียกกันว่า "f-hole" ครับ แฮริสัน (Harrison Stradivarius) ได้ออกแบบไว้ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1693 ก่อนที่ไลบ์นิซจะเริ่มใช้ตัว S ยาว แทนเครื่องหมายอินทิกรัลซะอีก ผมคงไม่ลงรายละเอียดเรื่องของไวโอลินนะครับ ใครสนใจไปอ่านต่อได้ที่ http://www.pantown.com/board.php?id=13220&area=4&name=board2&topic=296&action=view

* ภาพประกอบจากอินเทอร์เน็ต

สมัยผมเรียน ป.ตรี เคยอ่านแคลคูลัสเล่มหนึ่งที่ใช้ภาพปกเป็นรูปไวโอลิน พร้อมกับรู f-hole ทำเอาผมเข้าใจผิดมานานหลายปีเลยครับ เพิ่งเข้าใจตอนนี้นี่เองว่า... มันไม่เกี่ยวกันเลย